Ένα μυθιστόρημα για τα μαθηματικά: "Το θεώρημα του παπαγάλου" Ντένι Γκετζ, εκδ. Πόλις, 1999

Το αναγνωστικό κοινό ξαφνιάστηκε όταν είδε να  κυκλοφορούν για πρώτη φορά λογοτεχνικά  έργα  με θέμα  την  επιστήμη των Μαθηματικών. Μα είναι δυνατόν  ο  ψυχρός  ορθολογισμός της μαθηματικής σκέψης, αυτά τα ακαταλαβίστικα  απ’ την  σχολική εμπειρία να προκαλέσουν αισθητική συγκίνηση; «Οι επιστημονικές αλήθειες χρειάζονται ωραίες ιστορίες για να τραβήξουν τους ανθρώπους και να τους κάνουν να τις αγαπήσουν» γράφει ο Ντένι Γκέτζ, ο συγγραφέας, ο οποίος δημιούργησε το δικό του μυθιστόρημα για να παρουσιάσει την εποποιία  της ανθρώπινης  μαθηματικής σκέψης .

                Και ο λογοτεχνικός μύθος του Ντένι  Γκέτζ θυμίζει μαθηματικό πρόβλημα με τα δεδομένα, τους συλλογισμούς και τη λύση που επιζητείται. Ο κ. Ρυς  προσπαθεί να εξιχνιάσει τον τρόπο θανάτου του φίλου του Γκροσρούβ, μαθηματικού, κάπου στην  Αμαζονία της Λατινικής Αμερικής, ακολουθώντας  τα σημάδια  που του άφησε ο ίδιος  ο Γκροσρούβ -προτού πεθάνει- σε δυο επιστολές και στο πλήθος των συγγραμμάτων της μαθηματικής βιβλιοθήκης του. Στο μύθο εμπλέκεται επίσης και το τυχαίο, ένας φλύαρος παπαγάλος απ’ τη Λατινική Αμερική που γίνεται το μήλο της έριδας ανάμεσα στα παιδιά που ζουν  μαζί με τον κ. Ρυς και μιας σπείρας μαφιόζων που τον διεκδικεί για τις μαθηματικές του γνώσεις. Και καθώς ξετυλίγεται ο μύθος τίθεται το ερώτημα, αν ο παπαγάλος γνωρίζει τις λύσεις των δυο περίφημων εικασιών του Φερμά και του Γκόλντμαχ, τις οποίες ισχυρίζεται στις επιστολές του, ότι έλυσε ο Γκροσρούβ, προτού πεθάνει. Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι πολύ σημαντική, διότι οδηγεί στη διελεύκανση  του  θανάτου του Γκροσρούβ  και στη  λύση των πιο δύσκολων μαθηματικών προβλημάτων  που για 250 χρόνια  βασανίζουν τους μαθηματικούς .

                   Ο συγγραφέας του μυθιστορήματος με την ιδιότητα του, ως καθηγητής της Ιστορίας των Επιστημών στο πανεπιστήμιο  Paris  VIII, παρουσιάζει  την ιστορία των μαθηματικών κατευθείαν από τις πηγές τους. Όλα  τα  συγγράμματα που έγραψαν οι ίδιοι οι μαθηματικοί κατά  την αρχαιότητα, το μεσαίωνα, την αναγέννηση, το διαφωτισμό μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα παρελαύνουν μπροστά μας με τους τίτλους τους δοσμένους στο πρωτότυπο και τις γενικές περιλήψεις τους. Βαθύς γνώστης της ιστορίας των Μαθηματικών  ο συγγραφέας  παρουσιάζει κύρια τη φιλοσοφία της επιστήμης αποφεύγοντας εξειδικευμένες γνώσεις  που θα κούραζαν ένα κοινό μη εξοικειωμένο με τη μαθηματική σκέψη και συγχρόνως όμως  καταφέρνει να μας δώσει  μια ξεκάθαρη εικόνα της μακραίωνης εξέλιξης των Μαθηματικών  και όλων των κλάδων τους. Δυσνόητες έννοιες και σύμβολα μαθηματικά γίνονται οικεία στον αναγνώστη.

                Το ταξίδι του Ντένι  Γκέτζ  δεν είναι μόνο στο χρόνο αλλά και στο χώρο. Με αφετηρία  το παρόν, το σύγχρονο Παρίσι του 1992, το πολύβουο, το κοσμοπολίτικο, το καθημερινό, το  τόσο ζωντανό και ζεστό, με τις διάσημες πλατείες, λεωφόρους αλλά και τις άγνωστες γειτονιές του, τους μικρούς δρόμους του, τα παλαιοπωλεία, όπου συνυπάρχουν φυλές απ’ όλο τον κόσμο  ο Ντένι Γκέτζ μας ταξιδεύει ανά την υφήλιο, στα μέρη, όπου γεννήθηκαν και έζησαν οι άνθρωποι που με τη σκέψη τους  σημάδεψαν τη μαθηματική επιστήμη. Παρουσιάζονται δηλ. οι άνθρωποι – μαθηματικοί και η προσωπική τους ζωή μέσα  στο πολιτιστικό περιβάλλον της εποχής τους, που τους επηρέασαν στο έργο τους. Παρ’ όλες τις   αντίξοες  συνθήκες που συχνά αντιμετώπιζαν, κατάφεραν να επιδοθούν  στην αγαπημένη τους ασχολία, τα μαθηματικά, και να διακριθούν. Οι μαθηματικοί –άνθρωποι δεν είναι λοιπόν οι απόμακροι  ψυχροί ορθολογιστές, όπως συχνά τους φαντάζεται ο κοινός νους, αλλά άνθρωποι  που ερωτεύονται, πονούν, εμπιστεύονται τους φίλους τους αλλά  και  προδίδονται  καμιά φορά, που χαίρονται για τη δικαίωση του έργου τους  αλλά και που πεθαίνουν πικραμένοι για τη μη αναγνώρισή τους!

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

                       Το ταξίδι στο χρόνο και στο  χώρο ξεκινά  τον 6^ο αι. π.Χ   από την αρχαία Ιωνία  της  Μικράς  Ασίας, όπου οι Έλληνες  ξεπερνώντας τις εμπειρικές παρατηρήσεις των Ανατολικών λαών πρώτοι διανοήθηκαν για τις ακλόνητες λογικές αρχές που διέπουν  τις σχέσεις  όλων των πραγμάτων που μας περιβάλλουν.  Στοχάστηκαν  ότι πίσω απ’ το φαινομενικό Χάος που τους περιέβαλλε υπήρχε Λογική Τάξη που είχε οργανώσει το χάος σε Κόσμο. Πρώτος ο Πυθαγόρας  χρησιμοποιεί τη λέξη  "κόσμος" για να εκφράσει  αυτή την ομορφιά του Σύμπαντος δηλ. τη λογική αρμονία  που υπάρχει παντού. (κοσμώ= ομορφαίνω) Τα  Μαθηματικά διαφέρουν από τις άλλες επιστήμες γιατί απαιτούν κάτι περισσότερο απ΄ την απλή πειθώ. Η πειθώ δεν απαλείφει οριστικά την αμφιβολία Τα μαθηματικά  ζητούν το αναμφισβήτητο. Θέλουν απόλυτες αλήθειες. Έτσι επινοούν τη θεωρητική απόδειξη  σε αντίθεση με τους ανατολικούς λαούς που είχαν αρκεστεί μόνο στην πρακτική επαλήθευση των παρατηρήσεων τους  π.χ. με το μέτρημα των συνόρων των χωραφιών  τους  (σελ.223).

                      Πρώτος ο Θαλής ο Μιλήσιος  έβαλε τις βάσεις της Γεωμετρίας. Χρησιμοποιώντας τη λογική αφαιρετική σκέψη καταφέρνει να συλλάβει  εκείνα τα ιδιαίτερα και συγχρόνως κοινά χαρακτηριστικά   που υπάρχουν  στα  τόσα  παρόμοια  αντικείμενα  που παρατηρεί καθημερινά γύρω του και έτσι ορίζει τις έννοιες των πρώτων  σχημάτων: του κύκλου, του τριγώνου, αλλά και της ευθείας. Για παράδειγμα παρατηρώντας τα σχήματα του ολόφωτου φεγγαριού, της μαργαρίτας ή μιας ολοστρόγγυλης πέτρας καταφέρνει -αφαιρώντας τα επιμέρους γνωρίσματά τους ως προς το υλικό από το οποίο αποτελούνται και το μέγεθος τους - να συλλάβει ότι και τα τρία έχουν ίδιο σχήμα, που το αποκαλεί "κύκλος". Και συνειδητοποιεί ότι στο σχήμα του κύκλου,  όλα τα σημεία της περιφέρειας του απέχουν εξίσου από το κέντρο του κι έτσι τον ορίζει!  Στη συνέχεια βρίσκει τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των σχημάτων, του κύκλου και της ευθείας, του κύκλου και του τριγώνου, του τριγώνου και της ευθείας. Για παράδειγμα μια ευθεία μπορεί να διχοτομεί το κύκλο, όταν διέρχεται απ’ το κέντρο του  και την ονοματίζει «διάμετρο» ενώ ονομάζει «χορδή» την ευθεία που ενώνει δυο σημεία της περιφέρειας του κύκλου χωρίς να διέρχεται από το κέντρο του και η οποία λογικά είναι μικρότερη σε μήκος από τη διάμετρο. Επίσης ένας κύκλος μπορεί να είναι περιγεγραμμένος σε τρίγωνο…ή εγγεγραμμένος. Απλές αλήθειες για τη σημερινή μαθηματική σκέψη που ορίζουν για πρώτη φορά στην ιστορία της ανθρωπότητας με τη λογική, μαθηματικές  έννοιες. Έτσι αρχίζει η μεγάλη εποποιία  της Επιστήμης  και ειδικότερα  των Μαθηματικών  δίνοντας  λογικά σχήματα  σ’ αυτά που παρατηρούσαν γύρω τους και καθιερώνοντας τα σχήματα αυτά ως αυτόνομες μαθηματικές οντότητες, μεγέθη. Το Χάος αρχίζει πια να οργανώνεται σε ομάδες, κατηγορίες.

                     Η Αριθμητική  γεννιέται με τους  Πυθαγορείους στην αρχαία Σάμο και την Κάτω Ιταλία .Οι αριθμοί  εκφράζουν  την απόλυτη  αφαιρετική σκέψη αφού απογυμνώνουν τα όντα απ’ όλα τα γνωρίσματά τους κρατώντας  ως μοναδικό γνώρισμα  την ύπαρξη τους, που δηλώνεται ως ποσότητα τελικά.. Η  ποσότητα  γίνεται το κριτήριο που καθορίζει τις σχέσεις μεταξύ  υλικών πραγμάτων  και μεταξύ άυλων π.χ. ήχων μουσικής. Γι’ αυτό οι Πυθαγόρειοι ασχολούνται με τη μουσική αλλά  και βάζουν  τις βάσεις  της «Θεωρίας των αριθμών» ερευνώντας τις ιδιότητες των ίδιων των αριθμών ( περιττοί, άρτιοι, μέσοι…) Πέρασαν αρκετά χρόνια ώσπου ο Αρχύτας ο Ταραντίνος (σελ. 138)  συμπεριλάβει τη μονάδα, το ένα, στους αριθμούς. Θεωρούσαν ότι  η μονάδα  δεν  έκφραζε  ποσότητα, επειδή την είχαν ταυτίσει με το Όν, το μοναδικό, το ανεπανάληπτο απ’ το οποίο ξεκινούν όλα τα άλλα. Το  μηδέν, σύμβολο του κενού, που δεν εκφράζει καμμιά ποσότητα, έγινε αποδεκτό από τους δυτικοευρωπαίους ως αριθμός μόλις το 13^ο αι. μ.Χ. αφού προηγουμένως το χρησιμοποίησαν οι Ινδοί  και μετά οι Άραβες. 

                  Μέσα σε 1000 χρόνια –όσα διαρκούν τα ελληνικά Μαθηματικά  κατά την αρχαιότητα – περίπου 20 μόνο πρόσωπα παρουσιάζονται που σημαδεύουν  με τη σκέψη τους  τα Μαθηματικά  βάζοντας τις βάσεις της Γεωμετρίας, της Αριθμητικής, της Τριγωνομετρίας, της Αστρονομίας. Η Τριγωνομετρία γεννήθηκε απ’ την  ανάγκη να μετρηθούν τα τρίγωνα με βάση τις γωνίες τους κι όχι τις πλευρές τους κι έτσι δημιουργούν τις έννοιες: ημίτονο και συνημίτονο … και παντρεύεται η Γεωμετρία με την Αριθμητική. Η επιστήμη της Αστρονομίας γεννιέται κατά την ελληνιστική εποχή από την παρατήρηση των κινήσεων των πλανητών. Έτσι συνειδητοποιούνται νέα σχήματα: ο ελλειπτικός κύκλος, η παραβολή, η υπερβολή δηλαδή σχήματα που δημιουργούνται, όταν μια δέσμη φωτός (ηλίου, σελήνης ) σε σχήμα κώνου φθάνει στη γη και συναντά ένα επίπεδο.

                     Ένας μεγάλος σταθμός στο ταξίδι των Μαθηματικών είναι η κοσμοπολίτισσα Αλεξάνδρεια, το πνευματικό κέντρο του ελληνιστικού  κόσμου, με το Μουσείο της, τη μεγάλη Βιβλιοθήκη της και το Φάρο με τα μεγάλα κάτοπτρα του για να μεγενθύνουν έτσι το φως του. Σ’ αυτή τη πόλη με τη μεγάλη πολιτιστική κίνηση, που τη ζωντανεύει μπροστά στα μάτια μας  ο Ντένι  Γκέτζ, ζει  ο Ευκλείδης  τον 3^ο αι μ.Χ, ο οποίος συστηματοποιεί όλη τη μέχρι τότε μαθηματική παράδοση σε 13 βιβλία. Ο μαθηματικός κόσμος του Ευκλείδη είναι στατικός δηλ. αποκλείει την κίνηση από τα γεωμετρικά σχήματα και αυστηρά λογικός. Στην αρχή του λογικού  μαθηματικού οικοδομήματος τοποθετεί τους ορισμούς των σχημάτων, επειδή υπάρχουν  στο περιβάλλον μας τα σχήματα αυτά. Στη συνέχεια  τοποθετεί τα αιτήματα ( αιτώ=ζητώ ) δηλ. αυτά που ζητά να κατασκευάσει και τρίτο τα αξιώματα δηλ. τις γενικές λογικές αρχές που η εγκυρότητα τους δεν αμφισβητείται από κανένα κι έχουν εφαρμογή κι εκτός μαθηματικών .Καμιά πρόταση δεν πρέπει να γίνεται δεκτή χωρίς απόδειξη. Aν αποδειχθεί τότε έχει αξία θεωρήματος.

ΤΟ ΟΡΑΜΑ ΤΗΣ ΣΥΝΕΠΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ

            Ο  Ευκλείδης οργανώνει λογικά όλο το οικοδόμημα των Μαθηματικών εκφράζοντας έτσι το Όραμα της Συνέπειας και Πληρότητας της μαθηματικής –ορθολογιστικής σκέψης, κάτι που στον 20^ο αιώνα βέβαια έχει αμφισβητηθεί.. Στη μαθηματική σκέψη υπάρχει η βεβαιότητα ότι η μαθηματική-λογική αλήθεια  υπάρχει ανεξάρτητα αν μπορούν να την βρουν ή όχι. Η λύση του μαθηματικού προβλήματος παρομοιάζεται με ένα κλειδί που υπάρχει οπωσδήποτε αλλά απλά έχει χαθεί μέσα σ’ ένα δωμάτιο κι είναι μόνο θέμα χρόνου, πότε θα βρεθεί.   Ο όρος αδύνατο εκφράζει τη μαθηματική σκέψη, αφού σ΄ όλα τα προβλήματα υπάρχει λύση, έστω κι αν αυτή αργεί να βρεθεί. Αυτή η βεβαιότητα όμως πρώτα κλονίστηκε  από τους Πυθαγορείους, όταν δεν μπόρεσαν να μετρήσουν το μήκος της διαγωνίου του τετραγώνου δηλ. διαπίστωσαν ότι δεν υπήρχε φυσικός αριθμός να εκφράσει το μήκος της, το οποίο εκφράστηκε ως 2 τετραγωνική ρίζα του 2. Τότε συνειδητοποίησαν ότι υπάρχουν μεγέθη ασύμμετρα δηλ. οι πλευρές του τετραγώνου και η διαγώνιος του δεν μπορούν να μετρηθούν με τους ίδιους αριθμούς. Επιπλέον οι αρχαίοι Έλληνες δεν μπόρεσαν να  δώσουν λύση στον τετραγωνισμό του κύκλου, στο διπλασιασμό του κύβου και στην τριχοτόμηση της γωνίας. Στις αρχές όμως του 20^ου αιώνα, στο συνέδριο των μαθηματικών στο Παρίσι, αμφισβητήθηκε το όραμα της Συνέπειας και Πληρότητας των μαθηματικών. [Λίγο αργότερα ο Αυστριακός μαθηματικός Γκέντελ, απέδειξε ότι υπάρχουν μαθηματικά προβλήματα που δεν έχουν λύση, και το τραγικό είναι ότι αυτά τα προβλήματα δεν μπορούμε να τα γνωρίζουμε εκ των προτέρων.] Ο άνθρωπος είναι καταδικασμένος να προσπαθεί συνεχώς να βρει τη λύση τους, έστω κι αν αυτή μπορεί να μην υπάρχει!

     ΤΑ ΕΙΔΗ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Αυτή η ανάγκη εύρεσης λύσεων δημιουργεί την ανάγκη εφεύρεσης νέων μεθόδων, νέων αριθμών, αν χρειαστεί, και νέων αριθμητικών πράξεων ακόμα! Έτσι οι μαθηματικοί αρχίζουν να δημιουργούν νέες κατηγορίες αριθμών: Δίπλα στους φυσικούς αριθμούς -που έφτιαξε ο Θεός– και που τους χαρακτήρισαν και ως ακεραίους (θετικούς )δηλαδή 1,2,3,4... σε αντίθεση με τα κλάσματα  ή σπαστούς δηλ.1/2, 3/5... δημιούργησαν και τους αρνητικούς αριθμούς, -1,-8... Όλοι αυτοί  ονομάστηκαν ρητοί, επειδή μπορούν να λένε, να μετρούν τα μεγέθη σε αντίθεση με τους άρρητους, που δεν δηλώνουν ξεκάθαρα τα  μεγέθη, όπως τετραγωνική ρίζα του 2. Ρητοί και άρρητοι αποτελούν τους Πραγματικούς αριθμούς. Κατά τους νεώτερους χρόνους δημιουργούνται οι Φανταστικοί αριθμοί δηλ. 2i, 3i, 4i..., οι οποίοι σε συνδυασμό με τους πραγματικούς δημιουργούν τους Μιγαδικούς δηλ. 3+2i....

ΤΑ ΑΡΑΒΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

                Το ταξίδι των μαθηματικών στο χρόνο και στο χώρο δεν είναι πάντα εύκολο. Η ανθρώπινη σκέψη προχωρεί σταδιακά. Όλα αποτελούν κρίκους της ίδιας αλυσίδας. Τελειώνοντας ο αρχαίος κόσμος τη σκυτάλη τώρα την παίρνουν οι  Άραβες, οι οποίοι γνωρίζουν αφενός την ελληνική σκέψη, όταν κατακτούν  την Αλεξάνδρεια,  κι αφετέρου την ινδική μαθηματική σκέψη  λόγω γεωγραφικής γειτνίασης. Τώρα το μαθηματικό κέντρο του κόσμου  γίνεται η Βαγδάτη, η Στρογγυλή Πόλη με τις 4 πύλες, η πρωτεύουσα του Χαρούν Ελ Ρασίντ  με τον Οίκο Σοφίας  και τις Χίλιες και μια  Νύχτες. Ο ήρωας του μυθιστορήματος κ. Ρυς θέλοντας να λύσει το γρίφο του θανάτου του φίλου του ξεφυλλίζει τώρα τα συγγράμματα των Αράβων  μήπως  ανακαλύψει  εκεί  το μυστικό του θανάτου του κ. Γκροσρούβ.

      Κι ανακαλύπτει ότι οι Άραβες  ανέπτυξαν την Άλγεβρα, την επιστήμη των εξισώσεων σε αντίθεση με την αριθμητική, την επιστήμη των ρητών  αριθμών.  Στην άλγεβρα σε εκείνα που αναζητούμε έχουν επιβληθεί περιορισμοί που χαρακτηρίζονται  ως άγνωστοι  χ,ψ…Οι περιορισμοί αυτοί στην αρχή ήταν λίγοι σιγά-σιγά όμως γίνονται πιο περίπλοκοι ανάλογα το βαθμό της εξίσωσης και το πλήθος των αγνώστων αριθμών. Ο Αλ Σαμαβάλ κατορθώνει να λύσει ένα σύστημα 210 εξισώσεων με 10 αγνώστους!  Σιγά-σιγά η Άλγεβρα αριθμητικοποιείται επεκτείνοντας τις αριθμητικές πράξεις και την εξαγωγή ριζικών στους αγνώστους.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ και ΣΤΟ ΔΙΑΦΩΤΙΣΜΟ

               Επτά  αιώνες αραβικά μαθηματικά (9^ο-15^ο αι.μ.Χ. ) για να πάρουν τη σκυτάλη στη συνέχεια οι Ιταλοί. Το 12^ο αιώνα. ο Ιταλός Φιμπονάτσι  μεταφέρει από την Αλγερία στην Ιταλία την αραβική άλγεβρα και τους αραβικούς αριθμούς. Η χρήση των αραβικών αριθμών στην Ευρώπη βοήθησε στη δημιουργία του «δεκαδικού θεσιακού συστήματος» αριθμητικής γραφής με χρήση του μηδενός  αντί των λατινικών που χρησιμοποιούσε η δυτική Ευρώπη μέχρι τότε. Αυτό ήταν μεγάλη επανάσταση  γιατί διευκόλυνε πολύ  την γραφή των  αριθμητικών πράξεων αφού τώρα μπορούσαν να γραφτούν όλοι οι αριθμοί ακόμα και οι πιο μεγάλοι. Η αξία ενός αριθμού εξαρτάται από τη θέση που κατέχει, όταν γράφεται π.χ. το 1 του 100 έχει μεγαλύτερη αξία από  το 9 του 96 γιατί βρίσκεται πιο ψηλά στην κλίμακα. Έτσι ο υπολογισμός των πράξεων γίνεται τώρα γραπτά κι ονομάζεται αλγόριθμος, ενώ προηγουμένως χρησιμοποιούσαν τον άβακα, είδος αριθμητηρίου, για  την εκτέλεση των πράξεων Στις κωμοπόλεις της βόρειας  Ιταλίας το 16^ο αι. παρατηρείται  ανάπτυξη των μαθηματικών με τον Ταρτάλια, που ήταν τραυλός και τον Καρντάνο και τη σχολή της Μπολώνιας. Το 1557  επινοείται το σύμβολο του ίσον = αντικαθιστώντας τα αρχικά της λέξης ισότητα-aeq που χρησιμοποιούνταν προηγουμένως. Χωρίς  ισότητα δεν θα είχαμε μαθηματικά ούτε δημοκρατία αναφέρει ο Ντένι Γκέτζ.

 To 17^ο αιώνα η “κίνηση” κάνει μια δυναμική είσοδο στα μαθηματικά. Ο κόσμος κορεσμένος απ’ τα στατικά σχήματα των παραδοσιακών  μαθηματικών  τώρα ξαναζωντανεύει. Τα νέα  μαθηματικά  μπορούν να υπολογίζουν την κίνηση! Η Φυσική επιστήμη βρίσκει επιτέλους το δικό της εργαλείο για να αναπτυχθεί!

                 Όλα αυτά  ξεκίνησαν  από έναν ερασιτέχνη των μαθηματικών , το Γάλλο Φερμά που έθεσε τις βάσεις 1.του Διαφορικού Λογισμού 2.της Αναλυτικής  Γεωμετρίας 3.των Πιθανοτήτων και 4.της Θεωρίας των Αριθμών εισάγοντας μια νέα οπτική προς όλες της κατευθύνσεις της μαθηματικής σκέψης .Ο Φερμά επινοεί την τετμημένη και τεταγμένη ενός γεωμετρικού σημείου για να μπορεί κάποιος, που δεν έχει οπτική του χώρου στον οποίο βρίσκεται το σημείο, να  το ορίσει με βάση τις συντεταγμένες του. Το σημείο αυτό τώρα παρίσταται ως ζευγάρι αριθμών Μ (χ,ψ) κι έτσι από γεωμετρικό όν αντιμετωπίζεται τώρα ως αλγεβρικό. Με αυτόν τον τρόπο η Ευκλείδεια Γεωμετρία δίνει τη σκυτάλη στην Αναλυτική Γεωμετρία. Κάθε γεωμετρική καμπύλη μπορεί από εδώ και πέρα να αναλυθεί σε σημεία, να μετατραπεί σε ευθεία γραμμή και να γραφτεί αλγεβρικά  με εξίσωση και να υπολογιστεί! Και κάθε κυρτή επιφάνεια μπορεί τώρα να αναλυθεί σε πάρα πολλές ευθείες γραμμές και να υπολογιστεί το εμβαδόν της αφού είναι το άθροισμα  των άπειρων σχεδόν γραμμών που την απαρτίζουν (σελ.446-7). Η παράξενη αυτή ανάλυση ονομάστηκε «παραγώγιση» και η πρόσθεση των παραγώγων «ολοκλήρωση» και συμβολίστηκε με S:f  από τον Λάιμπνιτς. Ο Λάιμπνιτς μαζί με τον Νιούτον  δημιουργούν τον ολοκληρωτικό και απειροστικό λογισμό σαν συνέχεια του διαφορικού λογισμού. Με την Ανάλυση συνενώνεται η Γεωμετρία και η Άλγεβρα φθάνοντας έτσι στην αλγεβροποίηση της Γεωμετρίας. Τώρα μπορούν να υπολογιστούν τα πάντα μήκος, εμβαδόν, όγκος κάθε σχήματος! Χρειάστηκαν να περάσουν 2000 χρόνια περίπου για να λυθούν προβλήματα  που διατυπώθηκαν στα αρχαία χρόνια, όπως υπολογισμός (λογισμός) παραβολών, υπερβολών, ελίκων…Όσα δεν μπορούν να εκτελεστούν με τις 4 πράξεις «πρόσθεση», «αφαίρεση», «πολλαπλασιασμός», «διαίρεση» τώρα εκτελούνται με την «εξαγωγή ριζών»  και  τον  «τετραγωνισμό» και στη συνέχεια με την «παραγώγιση» και την «ολοκλήρωση».

                   Ο 18^ος αιώνας του Διαφωτισμού είναι ο χρυσούς  αιώνας της ανάλυσης. Οι συναρτήσεις γίνονται το κεντρικό αντικείμενο των Μαθηματικών. Ο αναγνώστης ταξιδεύει τώρα στην Αγία Πετρούπολη όπου ζει ο Ελβετός Οϊλέρ, αυτό το τέρας ευφυίας και  μνήμης, που επειδή τυφλώθηκε, αναγκάστηκε να θυμάται απέξω  ολόκληρους τόμους μαθηματικών συγγραμμάτων για να μπορεί να εργάζεται! Ο   Οϊλέρ  δουλεύει πάνω σ’ όλα τα είδη των μαθηματικών. Θεωρείται ο πατέρας των Φανταστικών αριθμών που συμβολίζονται με  i  απ’ το αρχικό της λέξης  imaginaire=φανταστικός κι ονομάστηκαν έτσι επειδή δεν μοιάζουν καθόλου με τους γνωστούς  αριθμούς μας. Αυτά τα παράξενα μαθηματικά όντα   γεννήθηκαν  για  να μπορεί να δηλωθεί  γραπτά  η τετραγωνική ρίζα του μείον  ένα. Αφού δεν μπορούσαν να  τη βρουν  μέσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορούν τώρα  να τη βρουν μέσα στο σύνολο των μιγαδικών. Αυτό σημαίνει ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι μια ειδική περίπτωση μιγαδικού αφού κάθε μιγαδικός είναι συνδυασμός πραγματικού και φανταστικού. Για  να κάνουν το αδύνατο δυνατό οι μαθηματικοί διευρύνουν το σύμπαν των αριθμών.

         Κατά το 19^ο αι.μ.Χ. καινούργια πεδία ανοίγονται στα μαθηματικά. Ταξιδεύουμε στην ομιχλώδη Σκανδιναβία, την πατρίδα του Άμπελ του νεαρού μαθηματικού που πέθανε νέος και δεν πρόλαβε να δικαιωθεί για το έργο του, όσο ζούσε, και στη Γαλλία  του άλλου νεαρού μαθηματικού Γκαλουά  που έχασε τη ζωή του σε μονομαχία! Στο σύντομο πέρασμα  τους απ’ αυτή τη ζωή λύνουν αλγεβρικές εξισώσεις 5^ου βαθμού  και ο Γκαλουά με τη θεωρία των ομάδων ανοίγει το δρόμο για τα μοντέρνα μαθηματικά.  Ο Γκάους  και ο Λομπατσέφσκι  επινοούν νέες γεωμετρίες, τις μη Ευκλείδειες, και ο Καντόρ τη θεωρία των συνόλων. Στον 20ο αιώνα τα μαθηματικά γίνονται πολύ εξειδικευμένα  και ο συγγραφέας  προτίμησε να μη τα συμπεριλάβει στο έργο του.

               Για  πολλούς όμως  η ομορφιά των μαθηματικών βρίσκεται στη Θεωρία των Αριθμών. Αυτό που γοητεύει στους αριθμούς είναι η αναζήτηση των «ιδιοτήτων» των αριθμών, οι οποίες καθορίζουν και τις σχέσεις μεταξύ τους. Ποιοι διαιρούνται με ποιους; ποιοι είναι πολλαπλάσια ποιων; ποιοι μοιάζουν μεταξύ τους και ως προς τι; … Η  πρώτη διάκριση των αριθμών έγινε απ’ τους Πυθαγορείους σε μονούς (περιττούς) και ζυγούς(άρτιους). Ακολούθησε η διάκριση σε φίλιους π.χ.220 και 284 όπου το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του ενός αριθμού ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του άλλου αριθμού. Επίσης η διάκριση σε πρώτους που διαιρούνται  μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό τους και σε δίδυμους πρώτους, όταν η διαφορά μεταξύ των πρώτων είναι 2 μονάδες μόνο π.χ.17,19. Επίσης ο Φιμπονάτσι με την  ακολουθία αριθμών, που ανακάλυψε, προσθέτοντας με τη σειρά, ανά δύο αριθμούς κάθε φορά  1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144….μας εντυπωσιάζει γιατί κάθε αριθμός μετά το 3 είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγουμένων!

          Εντυπωσιακός είναι ακόμα ο γνωστός μας  π=3,14. Τα δεκαδικά του στοιχεία δεν τελειώνουν στο ,14 αλλά συνεχίζονται επ’ άπειρον χωρίς να επαναλαμβάνονται περιοδικά -μέχρι βέβαια εκεί που έχουν υπολογιστεί ως σήμερα. Μέχρι το 1874 ο μαθηματικός Σανκς  δουλεύοντας  επί 20 χρόνια υπολόγισε μόνο τα πρώτα 707 δεκαδικά του ψηφία του αριθμού αυτού και για τον άθλο του αυτόν γράφτηκαν στην  οροφή της κυκλικής αίθουσας του μεγάρου Ανακαλύψεων στο Παρίσι. Μέχρι το 1989 με τη βοήθεια των υπολογιστών είχαν υπολογιστεί 1δις.δεκαδικά ψηφία. Υπάρχει λοιπόν αριθμός, που δεν μπορεί να προβλεφτεί και να γραφτεί με ακρίβεια ως δεκαδικός αριθμός, και συμβολίζεται με τον τύπο του Οϊλέρ που είναι γραμμένος στην είσοδο  του Μεγάρου  Ανακαλύψεων    e = -1.                

         H Θεωρία των Αριθμών είναι χρυσωρυχείο καλών προβλημάτων. Και καλά προβλήματα θεωρούνται εκείνα που ενώ είναι διατυπωμένα με τον πιο απλό τρόπο, η επίλυση τους είναι πολύ δύσκολη. Όσο  μεγαλύτερη  είναι η απόσταση ανάμεσα στην απλότητα της διατύπωσης και στην περιπλοκότητα  της λύσης τόσο καλύτερο θεωρείται το πρόβλημα. Σ’ αυτή  την κατηγορία  προβλημάτων  ανήκουν η  εικασία του Φερμά  και η εικασία του Γκόλντμπαχ που ισχυρίστηκε ότι  έλυσε ο Γκροσρούβ  λίγο πριν πεθάνει  κάπου στην Αμαζονία, όπου ζούσε, και τις λύσεις των οποίων είχε εμπιστευτεί  σε κάποιον. Αυτόν τον άγνωστο αναζητεί ο κ. Ρυς  αλλά και μια σπείρα Ιταλών μαφιόζων.

        Ο αναγνώστης ταξιδεύει τώρα λοιπόν στην άγρια  φύση της Αμαζονίας (σελ.295-299). Ο Αμαζόνιος είναι ένας ποταμός, ο οποίος ξεκινά απ’ τις πανύψηλες οροσειρές των Άνδεων, που ορθώνονται δίπλα στον Ειρηνικό ωκεανό, για να καταλήξει στον Ατλαντικό ωκεανό, διασχίζοντας έτσι μια απόσταση 6500 χιλιομέτρων. Είναι ένας ποταμός–θάλασσα, που τα γλυκά νερά του λόγω της ορμής με την οποία τρέχουν, φθάνουν 200 χιλιόμετρα μακριά μέσα στον Ατλαντικό ωκεανό από το σημείο των εκβολών του. Η  Αμαζονία είναι κόλαση και παράδεισος ταυτόχρονα! Τα  δάση με τα δέντρα τους εδώ βρίσκονται στη μεγαλύτερη ποσότητα απ’ ότι σ’ άλλο μέρος της γης. Η  ανάγκη να απορροφηθούν τα νερά του Αμαζονίου απ΄ το έδαφος και η ανάγκη να διεκδικηθεί το ηλιακό φως απ’ τα γειτονικά φυτά είχαν ως αποτέλεσμα  αυτό το θαύμα της φύσης! Οι ταξιδιωτικές  εντυπώσεις εναλλάσσονται με τα μαθηματικά για να ξεκουράσουν τον αναγνώστη απ’ το ψυχρό ορθολογισμό  της επιστήμης, που πολλές φορές υπερτερεί στο έργο.

                     Το ταξίδι στο χρόνο και στο χώρο συνεχίζεται με σταθμό τώρα τις Συρακούσες. Μπροστά  στα μάτια του αναγνώστη ζωντανεύει η αρχαία πόλη την εποχή του τυράννου Διονύσου, όταν την πολιορκούσαν οι Ρωμαίοι  κι όταν ο μεγάλος μαθηματικός και μηχανικός Αρχιμήδης  με τις εφευρέσεις του συνέβαλε να αποκρουστούν οι εχθροί αλλά δυστυχώς ο ίδιος βρήκε το θάνατο από ένα Ρωμαίο στρατιώτη. Περιγράφονται όμως και οι σύγχρονες Συρακούσες με τη τοπογραφία της και το εναπομείναν «Αυτί» του Διονύσου, μια τεχνητή κατασκευή που κατέληγε μέσα στο παλάτι του και η οποία  πληροφορούσε  τον  τύραννο  για κάθε ύποπτη κίνηση  εναντίον του!

     Εκεί στη Σικελία βρίσκονται όλοι  οι ενδιαφερόμενοι – μέλη της μαφίας κι ο Ρυς με τους φίλους του-   μήπως καταφέρουν  να  μάθουν  τα  μυστικά που αναζητεί ο καθένας. Και το κλειδί του μυστικού της λύσης της περίφημης εικασίας του Γκόλντμπαχ  φαίνεται ότι  το κρατά τελικά ένας παπαγάλος! Η εικασία του Φερμά στο μεταξύ πρόλαβε να λυθεί την τελευταία στιγμή από τον Αντριου Γουάλς. Και ο παπαγάλος, ο μόνος ίσως που ξέρει τη λύση, μεταφέρεται από τη Σικελία στην Αμαζονία, στο οικείο του περιβάλλον  -όπου ζούσε με τον Γκροσρούβ-  για να  μπορέσει να μιλήσει, ίσως εκεί! Όταν έφτασαν όμως εκεί… ο παπαγάλος  πέταξε μέσα απ’ τα  χέρια τους και χάθηκε στον ουρανό!! Άπιαστο πουλί λοιπόν και η απόδειξη της εικασίας του Γκόλντμπαχ ακόμα μέχρι σήμερα!

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

             Ο  Απόστολος  Δοξιάδης στο βιβλίο του « Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ» πρώτη έκδοση 1992, αναφέρει ότι ο Κουρτ Γκέντελ με το θεώρημα του της  Μη Πληρότητας,  απέδειξε ότι υπάρχουν προτάσεις  αναπόδεικτες, άρα και η εικασία του Γκόλντμπαχ μπορεί να ανήκει σ’ αυτές. Το τραγικό είναι ότι εκ των προτέρων είναι αδύνατον στον άνθρωπο να γνωρίζει ποιες από τις εικασίες αυτές είναι αναπόδεικτες δηλαδή πρέπει να προσπαθεί να τις λύνει, αν και κάποιες δεν πρόκειται να λυθούν ποτέ!

       Το βασίλειο της απόλυτης αλήθειας των μαθηματικών  κλονίζεται συθέμελα. Η αισιοδοξία των μαθηματικών, που υπήρχε μέχρι το 1900, στο πρώτο παγκόσμιο συνέδριο τους στο Παρίσι δέχτηκε καίριο πλήγμα. Το όραμα της Συνέπειας και της Πληρότητας του Ευκλείδη  αμφισβητείται χωρίς  όμως να γκρεμίζεται. Η απόλυτη βεβαιότητα κτυπήθηκε, η αλαζονεία ίσως στον απόλυτο ορθολογισμό. Κάτι θα υπάρχει πάντα που θα ξεφεύγει απ’ τον άνθρωπο. Όμως αυτός με την έμφυτη περιέργεια του θα προσπαθεί πάντα να το γνωρίσει. Απ αυτή την απορία  εξ άλλου μήπως όλα δεν  ξεκίνησαν;

                                                                                                       ΣούληΑγγελική                                                                                                                                                                                              Βάρκιζα,20-7-2002  

                                                                             

 Υ.Γ Εικασία Γκόλντμπαχ:  Κάθε άρτιος αριθμός, εκτός του 2, είναι άθροισμα 2 πρώτων αριθμών.